Nicht verzagen - Pappi fragen. Da gibt es einen genialen User, dessen Name mir längst entfallen ist. Doch man muss zitieren und darf sich nicht mit fremden Federn schmücken.
Das alles spielte sich ab auf einem Portal, das längst der Vergangenheit angehört. Trotzdem ist sein Name hier tabu; das wird überwacht und ist Teil der Guidelines. Nennen wir es Pipapo. In barocker Pracht gaben sich bei Pipapo matematische Spitzenkönner die Hand mit Dirnen, die sich als Oberschülerinnenausgaben.
Jenes Genie nun schlug für die Behandlung von Wurzeln eine ===> Inversion vor; allerdings stellte sich dann doch heraus, dass der Ansatz nicht allgemein, nicht flexibel genug war. Du musst setzen
x ^ r =: 1 / z ^ m ; m € |N ; r € |R ( 1 )
Dabei ist r die höchste im Radikanden vorkommende Potenz von x . Wir haben x ² so wie x ^ 4 , also r = 4 . Und m ist die Ordnung der Wurzel, hier m = 2 für Quadratwurzel. Damit ergibt sich in unserem Fall
x ^ 4 = 1 / z ² ( 2a )
x ² = 1 / z ( 2b )
x = 1 / sqr ( z ) ( 2c )
F ( x ) = F ( z ) = sqr ( 1 / z ² + 1 / z + 1 ) - ( a / z + b / z ^ 1/2 + c ) = ( 3a )
= ( 1/z ) [ sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2 + a ) ] ( 3b )
Sinn und Zweck dieser Strategie ist immer, dass der Faktor ( 1/z ) vor die eckige Klammer tritt. Natürlich müssen wir jetzt den Grenzwert z gegen Null durchführen. Gleich als Erstes fällt schon mal unangenehm auf, dass der Zähler gegen 1 - a geht; nur für a = 1 , also den Fall 0 : 0 können wir überhaupt Konvergenz erhoffen.
F ( z ) = ( 1/z ) [ sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2 ) - 1 ] ( 4a )
Bei Lichte besehen ist doch ( 4a ) nichts anderes als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion
f ( z ) := sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2 ) ( 4b )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Schlicht und ergreifend, weil ja f ( 0 ) = 1 Und der Grenzwert dieses DQ , das wisst ihr, ist die Ableitung f ' ( 0 ) und damit gleichzeitig das gesuchte Ergebnis.
2 z + 1
f ' ( z ) = ---------------------------------- - c - b / 2 z ^ 1/2 ( 4c )
2 sqr ( z ² + z + 1 )
Also das geht schon mal gleich gar nicht; die Wurzelfunktion ist für z = 0 nicht differenzierbar. Der b-Term in ( 4c ) macht uns gehörigen Ärger; wir müssen verlangen b = 0 .
Ich schick erst mal ab; im Momewnt hab ich nämlich keine Zeit. Wir sind ja fast fertig. Ich will nur den Link wieder finden.
