||x||p = ( Summe |xi|^p )^{1/p}. Beweisen Sie für p ≤ q die Ungleichungen. ||x||q ≤ ||x||p ≤ n^{1/p - 1/q}||x||q

Question

Ich verstehe diese Aufgabe nicht einmal Ansatzweise,

10. Für \( x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \) und \( p \in[1, \infty) \) sei
$$ \|x\|_{p}=\left(\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} $$
Beweisen Sie für \( p \leq q \) die Ungleichungen
$$ \|x\|_{q} \leq\|x\|_{p} \leq n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\|x\|_{q} $$

Answer 1

Den Beweis kann man mit der Hölderschen Ungleichung erbringen.
Die p-Norm ist definiert als
$$ \|x\|_p=\left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^\frac{1}{p} $$
Die Höldersche Ungleichung besagt das gilt
$$ (1) \quad \|xy\|_1 \le \|x\|_p \|y\|_q  $$ mit $$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $$

Nun zum Beweis:
Sei \( 1 \le p \le q \le \infty \)
$$ (2) \quad \|x\|_q=\left( \sum_{k=1}^n |x_k|^q \right)^\frac{1}{q}=\|x\|_p \left[ \sum_{k=1}^n \left( \frac{|x_k|}{\|x\|_p} \right)^q \right]^\frac{1}{q} \le  $$
$$ \|x\|_p \left[ \sum_{k=1}^n \left( \frac{|x_k|}{\|x\|_p} \right)^p \right]^\frac{1}{q}=\|x\|_p \left( \frac{\|x\|_p^p}{\|x\|_p^p} \right)^\frac{1}{q}=\|x\|_p $$

Aus \( (1)  \) folgt
$$ (3) \quad \|x\|_p = \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \cdot 1 \right)^\frac{1}{p} \le \left[ \left( \sum_{k=1}^n \left( |x_k|^p \right)^\frac{q}{p} \right)^\frac{p}{q} \left( \sum_{k=1}^n 1^{\frac{1}{1-\frac{p}{q}}} \right)^{1-\frac{p}{q}} \right]^\frac{1}{p}=\|x\|_q \cdot n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}} $$
Insgesamt gilt also
$$ \|x\|_q \le \|x\|_p \le n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}} \cdot \|x\|_q  $$

Comments

Ich habe noch eine Frage. Und zwar verstehe ich nicht, wieso die Elemente

$$ \frac{\vert x_k \vert}{||x||_p} $$ zwischen 0 und 1 liegen.

Vermutlich ist die Norm immer größer als (oder genauso groß wie) das größte Element damit dass gilt. Aber wieso ist dem so?

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Es gilt ja

$$ \left| x_k \right|^p \le \sum_{k=1}^n \left| x_k \right|^p = \| x \|_p^p   $$ Damit folgt die Ungleichung sofort.

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Das ist tatsächlich logisch. Da stand ich wohl gerade auf dem Schlauch! :)