Zeigen, dass Normen auf K^n definiert werden

Question

Zeigen Sie, dass durch \( \|x\|_{1}:=\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| \) und \( \|x\|_{\infty}:=\max _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| \) Normen auf \( \mathbb{K}^{n} \) definiert werden.

Answer 1

Da brauchst du die Def. von "Norm" auf einem Vektorraum V
das ist          1.   ||x|| >=0 und gleich Null nur für x=0
                     2. || a*x || = |a| * ||x|| für jedes a aus R und v aus V
                       3. || x+y || <=  ||x|| + ||y||
zu 1) Da |ai| nicht negativ ist , ist die Summe immer größer oder gleich Null und
gleich Null nur, wenn alle Summanden gleich Null sind, also x=0.
zu 2) Sei a aus R und x aus R^n , dann ist a*x = (ax1| ax2| .........| axn)
in der Summe steht als jeweils |a*xi| als Summand und das ist |a|*|xi| und
du kannst aus der Summe |a| ausklammern und bist fertig.
zu 3)  sind x und y aus R^n also jeweils mit x1,x2... und y1,y2,....
Dann ist ja x+y =   ( x1+y1 ; x2+y2 ; .........; xn + yn).
Die Summanden von der Norm sind dann |xi+yi| und wegen der Dreiecksungleichung
im Grundkörper ist das <=  |xi| + |yi|
Also ist die gesamte Summe <= der Summe von zwei einzelnen Summen, nämlich mit
xi und yi als Summanden. also <= Summe der Normen.   q.e.d.