Maximum zu Normen bestimmen

Question

Aufgabe:

Zahlen bestimmen zu Normen.

max {ll•|l_1: x in B_2}
max{ll•ll_2 : x in B_1}
max{ll • ll_1 : x in B_infinity }.

Ich verstehe nicht wirklich, was damit gemeint ist… Was genau soll ich hier bestimmen?

Comments

Was ist bei euch \(B_1\), \(B_2\) und \(B_{\infty}\) ?

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Ich glaube es war so definiert:

$$B_p:=\{x \in \mathbb{R}^2 : ||x||_p \leq 1\}$$

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Ich verstehe nicht wirklich

•  anstelle von x zu schreiben ist ja auch tatsächlich verwirrend.

Answer 1

Hallo,

gesucht ist das Maximum

$$M:=\max\{\|x\|_1 \mid \|x\|_2 \leq 1\}$$

Dazu benutzen wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, indem wir jedem Summanden den Faktor 1 spendieren:

$$\sum_{i=1}^n|x_i| \leq \sum_{i=1}^n 1 \cdot|x_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n1^2}\sqrt{\sum_{i<=1}^n|x_i|^2} \leq \sqrt{n}\|x\|_2 \leq \sqrt{n}\cdot 1$$

Damit gilt die Abschätzung \(M \leq \sqrt{n}\).

Wenn wir nun den Vektor x betrachen, dessen Komponenten alle gleich \(1/\sqrt{n}\) sind, folgt, dass sogar \(M=\sqrt{n} \) ist.