Text erkannt:
Im Folgenden seien \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) mit rank \( A=n \) und
$$ \operatorname{cond}_{2}(A)=\frac{\|A\|_{2}}{\min _{\|x\|=1}\|A x\|_{2}} $$
Zeigen Sie:
(a) \( \operatorname{cond}_{2}(A)=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{n}}, \) wobei \( \sigma_{1}^{2} \geqslant \sigma_{2}^{2} \geqslant \ldots \geqslant \sigma_{n}^{2}>0 \) die Eigenwerte von \( A^{T} A \) sind.
Hinweis: \( A^{T} A \) ist symmetrisch und positiv definit und daher orthogonal diagonalisierbar. D.h. es existiert eine orthogonale Matrix \( Q \), sodass \( Q^{T}\left(A^{T} A\right) Q=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1}^{2}, \ldots, \sigma_{n}^{2}\right) \). Die Wurzeln \( \sigma_{1} \geqslant \ldots \geqslant \sigma_{n}>0 \) heißen auch Singulärwerte von \( A \).
(b) \( \operatorname{cond}_{2}\left(A^{T} A\right)=\operatorname{cond}_{2}(A)^{2} \).
(c) \( \|A\|_{2}=\left\|A^{T}\right\|_{2} \).
(d) \( \operatorname{cond}_{2}(A)^{2}=\|A\|_{2}^{2}\left\|\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T}\right\|_{2}^{2}=\|A\|_{2}^{2}\left\|\left(A^{T} A\right)^{-1}\right\|_{2} \).
