Aloha :)
zu a) Die \(1\)-Norm ist die Summe der Beträge, die \(2\)-Norm ist die gewohnte Wurzel der summierten Quadrate und die \(\infty\)-Norm ist der maximale Betrag aller Koordinaten.
$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_1=|1|+|-1|=2$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right)\right\|_\infty=1$$
$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_1=|7|+|0|=7$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{7^2+(-0)^2}=7$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}7\\0\end{array}\right)\right\|_\infty=7$$
$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_1=|1|+|-1|+|1|=3$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)\right\|_\infty=1$$
$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_1=|10|+|10|+|1|=21$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{10^2+10^2+1^2}=\sqrt{201}$$$$\left\|\left(\begin{array}{r}10\\10\\1\end{array}\right)\right\|_\infty=10$$
Die anderen Aufgabenteile wurden bereits in einer anderen Frage gestellt und beantwortet:
https://www.mathelounge.de/836227/vektorraum-p-normen-brechnen?show=836369#a836369
