Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu b) \(V=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+2y=0\right\}\)
Hier kannst du alle Punkte durch die Koordinate \(y\) ausdrücken, denn \(x=-2y\):
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_1=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_1=|-2y|+|y|=3|y|\implies |y|=\frac{1}{3}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-\frac{2}{3}\bigg|\frac{1}{3}\right)\quad;\quad\left(\frac{2}{3}\bigg|-\frac{1}{3}\right)$$
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_2=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{4y^2+y^2}=\sqrt5|y|\implies |y|=\frac{1}{\sqrt5}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-\frac{2}{\sqrt5}\bigg|\frac{1}{\sqrt5}\right)\quad;\quad\left(\frac{2}{\sqrt5}\bigg|-\frac{1}{\sqrt5}\right)$$
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=\left\|\left(\begin{array}{r}-2y\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=|-2y|=2|y|\implies |y|=\frac{1}{2}$$Diese Bedingung erfüllen also 2 Punkte:$$\left(-1\bigg|\frac{1}{2}\right)\quad;\quad\left(1\bigg|-\frac{1}{2}\right)$$
zu c) \(V=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+y^2=1\right\}\)
Hier parametrisieren wir mit \(|y|=\sqrt{1-x^2}\) und \(x\in[-1|1]\):
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_1=|x|+|y|=|x|+\left|\sqrt{1-x^2}\right|\implies x\in\{-1,0,+1\}$$Diese Bedingung erfüllen 4 Punkte:$$\left(-1|0\right)\quad;\quad\left(0|-1\right)\quad;\quad\left(0|+1\right)\quad;\quad\left(+1|0\right)$$
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+1-x^2}=1\implies x\in[-1|1]$$Diese Bedingung erfüllen alle Punkte aus \(V\).
$$1\stackrel!=\left\|\left(\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right)\right\|_\infty=\operatorname{max}\{|x|,|y|\}$$Diese Bedingung erfüllen 4 Punkte:$$(-1|0)\quad;\quad(0|-1)\quad;\quad(0|+1)\quad;\quad(+1|0)$$
