Addieren von 2 Normen auf dem Vektorraum V

Question

Aufgabe:

Es seien ||.||_A  und ||.||_B Normen auf dem Vektorraum V . Zeigen Sie, dass dann auch
||v|| := ||v||_A + ||v||_B
eine Norm ist.

Problem/Ansatz:

Ich würde  ja versuchen für ||v|| die Definitheit, Homogenität und Dreickecksungleichung zu lösen, aber bin voll verwirrt und verstehe irgendwie nicht, was die Gleichung "||v|| := ||v||A + ||v||B" wirklich bedeutet.

Answer 1

Ich würde  ja versuchen für ||v|| die Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung zu zeigen.

Gute Idee !

Definitheit: Sei v∈V mit ||v||=0 ==>   ||v||_A + ||v||_B  =0

Da Normen nie negativ sind folgt daraus  ||v||A =0  und  ||v||B=0

und wegen der Definitheit von ||…||A und ||…||B also auch v=0.

Homogenität:   Seien  a∈K (falls V ein K-Vektorraum ist) und v∈V .

==>   ||a*v||     (nach Def. dieser Norm)

           =  ||a*v||_A + ||a*v||_B    (weiter mit der Hom. der "alten" Normen)

          = |a| * ||v||A + |a|* ||*v||B  ( Distributiv. in K )

          =  |a| *( ||v||A + ||*v||B  )     ( Def. der "neuen" Norm)

         =  |a| *||v||  .

Dreiecksungl: Seien v,w aus V .

==>    ||v+w||     =   ||v+w||A + ||v+w||B   ( Dreiecks. ungl "alte" Normen)

                         ≤   ||v||A +||w||A +||v||B + ||w||B

                          = ( ||v||A  +||v||B )+ ( ||w||A+ ||w||B)

                          =   ||v||+||w||    .