Normungleichungen beweisen.

Question

ich soll beweisen, dass es eine Konstante c gibt, die von p,q,n abhängt, sodass :

$$ { \left\| x \right\|  }_{ p }\le { \left\| x \right\|  }_{ q }\le \quad { c }_{ p,q,n }{ \left\| x \right\|  }_{ p }$$

Für:

$$ 1\le q\le p\le \infty $$

Man soll das mit der Hölder-Ungleichung  beweisen können. Ich finde aber leider keinen Ansatz.

Anschließend, soll ich noch ein x bestimmen,für das Gleichheit gilt.

Dieses x wäre doch dann einfach der Nullvektor oder nicht?

Ich weiß, dass die Konstate größer als 1 sein muss aufgrund des ersten Teils der Ungleichung.

Kann mir jemand beim Ansatz helfen?

Answer 1

Das schon gesehen?

https://www.mathelounge.de/170831/summe-xi-beweisen-sie-fur-p-%E2%89%A4-die-ungleichungen-q-x-p-%E2%89%A4-n-1-p-1-q-x-q

Comments

Ah, jetzt schon. Kannst du mir sagen, warum man bei (2) die Abschätzung machen kann? p ist dort doch kleiner gleich q. Und ich ersetze q mit p. Also habe ich in der Potenz etwas kleineres stehen, davon wird meine Summe doch nicht größer?

Und zu dem Schritt direkt danach. Wieso kann ich die Summe wegfallen lassen und direkt sagen, dass ich die p-Norm habe? Ich muss doch noch die p-te Wurzel daraus ziehen,um die p-Norm zu erhalten.

Und zu 3. es wird aus der p-Norm eine 1-Norm gemacht oder?  Wie sich die Potenzen dann von der Summe von x zusammensetzen verstehe ich dann, aber wie sich die Potenzen bei der Summe von 1 zusammensetzen, kann ich nicht nachfolgern.

Verstehst du das vielleicht?

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Klar, aber es wäre vielleicht besser gewesen direkt unter der Antwort nachzufragen :)

Also:

Kannst du mir sagen, warum man bei (2) die Abschätzung machen kann?

Der Ausdruck in der inneren Klammer ist kleiner als 1 deswegen funktioniert die Abschätzung.

Wieso kann ich die Summe wegfallen lassen und direkt sagen, dass ich die p-Norm habe?

Hier musst du auf die Exponenten achten, du hast ja nicht "nur" die p-Norm da stehen. Es ist ja

$$ \|x\|_p^p = \sum_{k=1}^n |x_k|^p $$

Und zu 3. es wird aus der p-Norm eine 1-Norm gemacht oder?

Das was in der Klammer steht wird als 1-Norm aufgefasst genau. Dann wird die Hölder-Ungleichung verwendet wobei du ja \( \alpha\) und \(\beta\) brauchst, mit \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 \). Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht im grunde darin zu erkennen, dass \( \alpha = \frac{q}{p} \) und \( \beta = \frac{q}{q-p} \) den Job erledigen.

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Alles klar, danke.

Wenn ich die Frage unter der anderen Antwort gestellt hätte, hättest du keine Benachrichtung dafür bekommen. Und ich wusste ja, dass es wahrscheinlicher ist, dass du gerade online bist.

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Kein Problem, vielleicht sieht das ja einer der Redakteure und fügt unsere kleine Konversation als Kommentarkette einfach an die besagte Antwort (oder auch Frage) mit dran :).

Answer 2

Ich denke damit ist die Aufgabe gelöst.