Ringe, Ringhomomorphismus und Ideale

Question

ich hätte folgende Aussagen zu zeigen oder widerlegen und hoffe, ihr könnt mir dabei helfen:

1) Das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus ist immer ein Ideal.

2) Jedes Ideal in einem Integritätsbereich ist ein Hauptideal.

3) Jeder kommutative Ring kann in einen Körper eingebettet werden.

Vielen Dank im Voraus.

LG

Hannah

Answer 1

1. stimmt.  Bew.:

sei J ein Ideal im Ring R und f ein Ringhomomorphismus.

Da keine Rede von rechts- oder links Ideal ist, nehmen

wir mal links an.

Beh.:  f(J) ist ein Ideal

Zu zeigen ist .

1.    0 ∈ f(J )   [ erfüllt, weil  0 ∈ J , also f(0)=0 ∈ f(J) ]

2. für alle a,b∈ f(J )  ist a-b  ∈ f(J ).

Seien also a,b∈ f(J )

==>  Es gibt x,y ∈ J mit  f(x)=a und f(y)=b

Mit x und y ist aber auch x-y ∈ J  und damit

f(x-y) ∈ f(J) und es ist   f(x-y) = f(x) - f(y) = a-b wegen

der Linearität von f

3. für alle a∈ f(J )  und r∈ R ist    r*a  ∈ f(J ).

Seien a∈ f(J )  und r∈ R .

==> Es gibt  x ∈ J mit  f(x)=a

==>    r*a = r*f(x) = f(r*x) ∈  f(J) .   q.e.d.