für das Inverse von \( u +x \) hilft ein Ansatz der Form \( \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i \) mit \( n \) als der kleinsten natürlichen Zahl, für die \( x^n = 0 \) gilt.
Einsetzen liefert
\( 1 \stackrel{!}{=} (u+x) \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i = \dots = u a_0 + \sum_{i=1}^{n-1}(ua_i + a_{i-1}) x^i \).
Mit der Wahl \( a_0 = u^{-1} \) und der Vorschrift \( a_i = -u^{-1} a_{i-1} \) für \( i = 1, \dots, n-1 \) ist das Inverse von \( u + x \) in Form von \( \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i \) gefunden.
Für ein Ringelement \( r \in R \) und ein nilpotentes Element \( x \in R \) mit \( x^n = 0 \) ist \( (rx)^n = r^n x^n = 0 \), Kommutativität des Ringes \( R \) vorausgesetzt. Somit ist \( N(R) \) ein Ideal.
Für die dritte Aufgabe kann ähnlich der ersten Aufgabe argumentiert werden, sprich man findet mit dem dortigen Ansatz ein Inverses: Sei \( a \) nilpotent, dann ist auch \( aX \) nilpotent und damit \( 1 - aX \) eine Einheit. Daraus folgt \( (1-aX) = R[X] \).
Sei andererseits \( (1-aX) = R[X] \), das heißt für \( f \in R[X] \) existiert \( g \in R[X] \), sodass \( f = g(1-aX) \). Sei zum Beispiel \( f = 1 \) oder allgemein konstant, das heißt von der Ordnung \( 0 \). Dann kann \( g \) kein Polynom sein, wenn \( a \) nicht nilpotent ist. Daher muss \( a \) nilpotent sein.
Zur vierten Aufgabe lässt sich Folgendes sagen. Wenn \( f \) existiert, sodass \( f(a) \in S \) zur Einheitengruppe gehört, dann kann \( a \) nicht nilpotent sein, da sonst \( f(0) = f(a^n) = f(a)^n = 0 \) wäre. Ein Widerspruch dazu, dass \( f(a) \) Einheit ist.
Sei \( a \) nicht-nilpotent. Wählt man \( S = R/N(R) \), so ist \( S \) ein Körper, da \( N(R) \) maximal (was ich meine, ist ein maximales Ideal) ist. Da \( a \not\in N(R) \) ist, ist \( f(a) \neq 0 \) und somit \( f(a) \in S^x \). Klaro?
Mister
