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Für einen kommutativen Ring R sei

Bild Mathematik

Weiter seien ℤ/5ℤ der Körper mit 5 Elementen und π: SL2(ℤ) → SL2(ℤ/5ℤ) durch

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definiert.

Zeigen Sie, dass für jeden kommutativen Ring R die Menge SL2(R) eine Untergruppe von GL2(R) ist.


bestimmt zeigt man das "einfach" mit dem Untergruppenkriterium oder? Leider will mir das mit all den Matrizen nicht gelingen. Kann mir jemand zeigen wie man diese Aufgabe löst? , lg Laura (:

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Hallo,

du musst zwei allgemeine Matrizen \( S \) und \( S' \) aus \( \textrm{SL}_2(R) \) multiplizieren und berechnen, ob für die resultierende Matrix die Gleichung \( ad - bc = 1 \) erfüllt ist:

\( S S' = \left(\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}a' & b' \\ c' & d'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{array}\right) \),

\( (aa' + bc')(cb' + dd') - (ca' + dc')(ab' + bd') \)
\( = \dots = (ad - bc)(a'd' - b'c') = 1 \).

Ist \( S \in \textrm{SL}_2(R) \), so ist

\( S^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right) \)

die inverse Matrix, wie man gegebenenfalls nachprüft. Man erkennt leicht, dass \( S^{-1} \in \textrm{SL}_2(R) \) ist.

Grüße

Mister

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