Zeigen Sie, dass dieser Satz für jeden kommutativen Ring R gilt, d.h.

Question

 :)

Aufgabe

Der binomische Lehrsatz für n = 4 lautet bekanntlich
(∗) (a+b)⁴⁼a⁴ +4a³b+6a²b² +4ab³ +b⁴.
Zeigen Sie, dass dieser Satz für jeden kommutativen Ring R gilt, d.h. ist R kommutativ und sind a,b ∈ R, so gilt (∗).
Markieren Sie im Beweis alle Stellen, an denen die Kommutativität benutzt wird.

Comments

Zeige, dass \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b² \) und rechne dann \( (a^2 + 2ab +b^2)^2 \) aus. Zum "ausmultiplizieren" verwende das Distributivgesetz.

z.B

(x+y) * (u+v) = x *(u+v) + y*(u+v) = xu + xv + yu + yv.

Wegen der Kommutativtät kannst du auch die Reihenfolge der Faktoren in Produkten tauschen.

Answer 1

(a+b)*(a+b) = a^2+ ab + ba + b^2  (wegen kommutat.)

= a^2+ ab + ab + b^2  = a^2 + 2ab + b^2 .

==> (a+b)^4 = (a+b)^2 * (a+b)^2

               = ( a^2 + 2ab + b^2 )*( a^2 + 2ab + b^2 )

 = a^4 + a^2*2ab + a^2 * b^2 + 2ab*a^2 + 2ab*2ab+2ab*b^2+b^2*a^2+b^2*2ab+b^2*b^2

Kommutativität innerhalb der Produkte anwenden

=a^4 + 2a^3b + a^2 * b^2 + 2a^3 b+ 4a^2b^2+2ab^3+a^2*b^2+2ab^3+b^4

=a^4 +4a^3b+6a^2b^2 +4ab^3 +b^4.