Zeigen Sie, dass f ∈ Q[X] irreduzibel ist.

Question

Wir betrachten das Polynom:

f= x⁴ − 10x² + 1 ∈ Q[X] .

a) Zeigen Sie, dass f ∈ Q[X] irreduzibel ist.

b) Sei L = Q[x₁] und K = Q[ x₁²] ⊂ L.
Geben Sie den Grad [L : Q] und [K : Q] beider Erweiterungen an!

c) Geben Sie das Minimalpolynom von x₁² in Q[X] an und Skizzieren Sie eine Konstruktion der Größe x₁²

d) Geben Sie eine Formel für alle reellen Nullstellen von  f an!

Answer 1

a)  wäre f reduzibel in Q[x] müsste es einen Linearfaktor haben, dem

entspräche eine rationale Nullstelle, die sind aber irrational.

oder in zwei quadratische Polynome zerfallen.

quadratische Ergänzung liefert aber

x^4 - 10x^2 + 1 =  ( x^2 - 5) ^2 - 24 =  ( x^2 - 5 - √24) *  ( x^2 - 5 +√24)

also quadratische Faktoren mit irrationalen Koeffizienten

==>  Zerlegung in Q[x] nicht möglich.