Zeigen Sie, dass X^4 + 3X^3 + X^2 − 2X + 1 ∈ Q[X] irreduzibel ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass X⁴ + 3X³ + X² − 2X + 1 ∈ Q[X] irreduzibel ist.

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Comments

Zeige, dass alle Extrema (x ≈ -0.7763311631 x ≈ -1.826320536 x ≈ 0.3526517000) positive Funktionswerte haben.

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Wie kann ich das machen? Könntest du mindestens ein davon für mich lösen bitte? Dann mache ich den Rest selber ;)

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Die Extrema kann man nur mit je einem Näherungsverfahren angenähert bestimmen.

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Du bist offenbar ganz schwer auf dem Holzweg.

Answer 1

Das Polynom liegt ja offensichtlich schon in \( \mathbb Z [X] \), das heißt man kann direkt das Reduktionskriterium anwenden:

Betrachte die Reduktion \( \bar f = X^4 + X^2 + X + \bar 1 \in \mathbb Z / 3 \mathbb Z [X] \) modulo 3.

Das Polynom hat in \( \mathbb Z / 3 \mathbb Z \) keine Nullstellen, insb. enthält \( \bar f \) keinen Linearfaktor. Als weitere Teiler kommen deshalb nur noch irreduzible Polynome vom Grad 2 in Frage. Davon gibt es in \( \mathbb Z / 3 \mathbb Z [X] \) nur drei Stück nämlich

$$ X^2 + \bar 1, \quad X^2 + X + \bar 2 , \quad X^2 + \bar 2 X + \bar 2 $$

Zeige nun, das keines dieser 3 Polynom ein Teiler von \( \bar f \) ist, dann folgt direkt, dass \( \bar f \) irreduzible in \( \mathbb F_3[X] \) ist und somit ist auch \( f \in \mathbb Q[X] \) irreduzibel nach dem Reduktionskriterium.

Comments

Könntest du bitte mindestens ein Polynom davon zeigen dass es kein Teiler ist?

Vielen Dank im Voraus! :)

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Das geht z.B. mit Polynomdivision (ich lasse die Resklassenstriche weg, aber wir rechnen trotzdem in \( \mathbb F_3[X] \)!)

$$ \phantom{-}(X^4 + X^2 + X + 1) : (X^2 + 1) = X^2\quad \text{Rest: } X + 1 \\ \underline{-(X^4 + X^2)} \\ \phantom{-(X^4 + X^2 +} X + 1 $$

Das Polynom ist also nicht durch X^2 + 1 teilbar. Analog machst du das noch mit den anderen beiden Polynomen.

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Stimmt das so ?

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Und noch eine Frage warum liegt das Polynom offensichtlich schon in \( \mathbb Z [X] \) ?

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Bei der weiten Polynomdivision hast du dich verrechnet. Sonst ist das soweit richtig, beachte aber, dass du die Koeffizienten modulo 3 betrachtest

Bei der ersten kommt also:

$$ X^2 + \bar 2 X, \quad\text{Rest: } \bar 1 $$

raus.

Und noch eine Frage warum liegt das Polynom offensichtlich schon in \( \mathbb Z [X] \) ?

Die Koeffizienten des Polynoms sind doch ganze Zahlen?

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Bei der zweiten kommt also:

$$ X^2 - \bar 2 X, \quad\text{Rest: } \bar 2x+1 $$

Stimmt das so?

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ja                                                   .

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Vielen vielen Dank! :)

Könntest du mir noch dabei helfen bitte? ;) https://www.mathelounge.de/779341/zeigen-sie-dass-y-3-x-1-y-x-2-1-irreduzibel-in-q-x-y-ist