Das Thema liegt zwar bei mir schon etwas zurück, aber so könnte es gehen:
Das Polynom \( f \) lässt sich schreiben als:
$$ f = (y+1)x^2 + (2y)x + (y^3+y - 1) $$
Vielleicht weißt du, dass \( \mathbb Q [x,y] = (\mathbb Q[y])[x] \). Also können wir das Polynom auch als Polynom in x über dem faktoriellen Ring \( \mathbb Q[y] \) auffassen. Die Irreduzibilität bleibt bei so kanonischen Isomorphien bestehen. Also reicht es zz, dass \( f \) über \( \mathbb Q[y] \) irreduzibel ist.
\( f \) ist als quadratisches Polynom genau dann irreduzibel über \( Q[y] \), wenn es keine Nullstellen hat und primitiv ist.
Letzteres heißt, dass der ggT aller Koeffizienten =1 ist, das ist offensichtlich der Fall: $$ \operatorname{ggT}_{\mathbb Q [y]}(y+1, 2y, y^3+y-1) = 1 $$
Die Nullstellen kann man mit der Mitternachtsformel ausrechnen:
$$ x_{1,2} = \frac{-2y \pm \sqrt{ 4y^2 -4(y+1)(y^3+y-1)} }{2(y+1)} = \frac{-2y \pm \sqrt{ -y^4 - y^3 + 1} }{2(y+1)} $$
Angenommen \( x_{1,2} \in \mathbb{Q}[y] \), dann wäre \( \sqrt{ -y^4 - y^3 + 1} = \mp(x_{1,2}\cdot2(y+1)+2y) \in \mathbb{Q}[y] \), d.h. es existiert ein \( g \in \mathbb Q[y] \) mit \( g^2 = -y^4 -y^3 + 1 \).
Es ist \( 2 \deg (g) = 4 \), also \( \deg (g) = 2 \), etwa \( g = g_2 y^2 + g_1 y + g_0 \), dann ist $$ g^2 = g_2^2 y^4 + \dotsm $$ Koeffizientenvergleich liefert \( g_2^2 = -1 \), aber das ist für kein \( g_2 \in \mathbb Q \) erfüllt. Widerspruch. Somit sind \( x_{1,2} \notin \mathbb Q[y] \).
Das Polynom \( f \) ist also irreduzibel.
