Text erkannt:
Es seien \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum, \( \phi \in \operatorname{End}(V) \) und \( h_{\phi}=p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{r}^{e_{r}} \) die Primpolynomzerlegung des charakteristischen Polynoms. Zeigen Sie:
(a) \( V \) ist genau dann \( \phi \) -zyklisch, wenn \( h_{\phi}=g_{\phi} \) gilt.
Hinweis: Behandeln Sie für die Rückrichtung zunächst den einfacheren \( \phi \) primären Fall \( h_{\phi}=p_{1}^{e_{1}} . \) Betrachten Sie dann im allgemeinen Fall \( y_{1}+\ldots+y_{r} \), wobei \( \left\langle y_{i}\right\rangle_{\phi}=\operatorname{Kern}\left(p_{i}^{e_{i}}(\phi)(V)\right) \) ist.
(b) \( V \) ist \( \phi \) -irreduzibel \( \Longleftrightarrow \operatorname{Grad}\left(g_{\phi}\right)=\operatorname{dim}(V) \) und \( r=1 \).
