Wie zeige ich, dass die Gruppe G zyklisch ist?

Question

Sei \( K \) ein Körper und \( G \subseteq K^{\times} \)eine endliche Untergruppe.

Wie zeige ich jetzt, dass die Gruppe \( G \) zyklisch ist.

Comments

Das ist ein absolutes Standardresultat. Beweise solltest du in jedem Lehrbuch zur Algebra finden. Auch findet sich der Beweis bereits oft genug im Netz. Google auch mal auf englisch, dann findest du zig Quellen.

Answer 1

Sei \(m=ord(G)\), dann gilt für alle \(a\in G:\; a^m=1\),

d.h. alle Elemente der Gruppe sind Nullstellen des

Polynoms \(X^m-1\). Da dieses nicht mehr als \(m\)

Nullstellen haben kann, hat es genau die Elemente

von \(G\) als Nullstellen. Diese Nullstellen bilden eine

zyklische Gruppe, die von einer primitiven n-ten Einheitswurzel

erzeugt wird.

Answer 2

\(G\) ist abelsch laut Körperaxiomen und endlich laut Voraussetzung.

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Sind alle endliche abelsche Gruppen zyklisch?