Beweis abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist zyklisch

Question

Ich soll beweisen, dass eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 zyklisch ist, d.h. Dass es ein a gibt mit G= {e,a,a²,a³,a⁴,a⁵}.

Den Lösungsansatz den mein Dozent gegeben hat ist: Bestimmen Sie zunächst die möglichen Ordnungen der Elemente von G. (Da geht mein Problem schon los. Gehe ich jetzt schon von G= {e,a,a2,a3,a4,a5} aus oder muss ich den Beweis dahin führen? Wie bestimmte ich Ordnungen von Elementen? Ich weiß dass die Ordnung von a die Zahl i ist, für die gilt aⁱ=e. Aber wie bestimmte ich das von einer Gruppe ohne Zahlen??).

Zeigen Sie durch Abzählen der Elemente einschließlich ihrer Produkte und Inversen, dass es ein Element a der Ordnung 2 und ein Element b der Ordnung 3 geben muss. Betrachten Sie dann das Produkt ab. (Ich glaube das könnte ich verstehen, wenn ich erst einmal den ersten Teil des Ansatzes verstanden habe).

Kann mir da vielleicht irgendjemand behilflich sein?

Vielen Dank!

Comments

Hallo rosakatze, den Beweis kann ich nicht führen, aber meine Intuition sagt mir immerhin folgendes:  Eine Gruppe der Ordnung 6, die ein Element a der Ordnung 2 und ein Element b der Ordnung 3 enthält, lautet wie folgt:  G = {a, b, b², ab, ab², e}.  Alle weiteren Potenzen aⁿ, b^m, aⁿ*b^m können auf diese 6 Elemente zurückgeführt werden.