Ist {a,b,c,d} eine zyklische Gruppe? Abelsche Gruppe mit Ordnung 4.

Question

Wir haben die Menge $$ G = \left\{a,b,c,d\right\}\\ $$

Wir bilden eine Gruppe mit der Verknüpfung *$$ (G, *)\\$$

Hier haben wir die dazu gehörige Gruppen Tafel:

$$ \underline{*|-a-b-c-d}\\a|-a-b-c-d\\b|-b-c-d-a\\c|-c-d-a-b\\d|-d-a-b-c $$

Frage: Handelt es sich hierbei um eine zyklische Gruppe?

Meine Antwort wäre nun: Ja, denn $$ \\G = \left\{a,b,b^{2}=c,b^{3}=d\right\} $$

Dabei bildet $$a$$ das neutrale Element und $$b$$ das erzeugende Element.

Ist das so richtig argumentiert?

Answer 1

Ich denke ja, denn diese Struktur ist isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen modulo 4.

Bei deiner Argumentation würde ich noch anführen, dass b⁴ = a  (dass also auch das neutrale Element a aus dem erzeugenden Element b als Potenz dargestellt werden kann).

Natürlich könnte man auch (noch) zeigen, dass b⁰ = a ist. Wie würdest du dazu vorgehen?