Sei G = ⟨g⟩ eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N.
Dann gibt es ein g∈G mit G={g,g^2, g^3,...,g^n=e}
a) Sei d ∈ N mit d|n also gibt es ein k∈N (nämlich k=n:d)^k)^d
Betrachte die Menge der voneinader verschiednen Potenzen von g^k:
{ g^k,(g^k)^2,(g^k)^3,...,(g^k)^d=g^n=e}
Die bilden eine Untergruppe von G; denn e ist enthalten und mit jedem (g^k)^h auch (g^k)^(n-h) also zu jedem El. das inverse und
abgeschlossen ist die Menge auch .
Also ist es eine zyklische Untergruppe, die von g^k erzeugt wird.
b) wenn nun U eine Untergruppe von G ist, dann ist jedes Element
von U ( weil in G) eine Potenz von g. Sei k der kleinste Exponent (Den gibt
es immer in einer endlichen Teilmenge von N.) , der dabei auftritt.
Dann sind alle Elemente, die ein Vielfaches von k als Exponent haben,
in U, weil U abgeschlossen ist. Angenommen, es wäre ein Element
in U, das kein Vielfaches von k als Exponent hat, also sowas wie
h*k+r mit r<k, dann wäre es von der Form x=g^(h*k)*g^r.
Multipliziert mit dem inversen von g^(h*k) ergäbe sich g^r.
Das kann aber nicht in U sein wegen der Wahl von k als Minimum.
