Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist.

Question

Aufgabe :Sei G eine abelsche Gruppe, sowie p und q Primzahlen mit |G| = pq.
(a) Sei p =/= q. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist.
(b) Sei p = q. Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass G nicht zyklisch sein muss.

Kann Jemand Bitte mir Helfen mit dieser Aufgabe

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Vom Duplikat:

Titel: Seien p und q Primzahlen und G eine abelsche Gruppe mit |G| = pq. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist.

Stichworte: abelsche-gruppe,zyklisch,gruppen

Aufgabe:

Sei G eine abelsche Gruppe, sowie p und q Primzahlen mit |G| = pq.

a) Sei p ≠ q. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist.

b) Sei p = q. Zeigen Sie, durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass G nicht zyklisch sein muss.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das man hier irgendwie mit dem Satz von Cauchy arbeiten muss, jedoch weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.

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Diese Frage existiert bereits: https://www.mathelounge.de/844418/zeigen-sie-dass-g-eine-zyklische-gruppe-ist.

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Okay, das habe ich nicht gesehen, aber ich hätte trotzdem eine Frage. Du gibst dort nur eine Antwort auf die b, wie genau zeige ich aber die a?

Und könntest du bitte kurz erklären wie du bei der b darauf kommst?

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Beweisidee zu a): Nach besagtem Satz existieren x,y ∈ G mit ord(x)=p und ord(y)=q. Da p und q teilerfremd sind und G endlich und abelsch ist, gilt ord(x·y)=ord(x)·ord(y)=p·q.
Zu b) siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen.

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Alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe

Answer 1

(b)  Wähle z.B. p=2 und G = ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.