Question

Seien B : b₁, b₂ und C : c₁, c₂ die Basen des R² gegeben durch
b₁ = \( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \), b₂ = \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \)

c₁ = \( \begin{pmatrix} 3\\-1 \end{pmatrix} \) , c2 = \( \begin{pmatrix} -5\\1 \end{pmatrix} \)

Sei f : R² → R² die lineare Abbildung gegeben durch _CM_B(f) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie die Matrix _EM_E(f), wobei E die Standardbasis e₁, e₂
ist.

Also ich habe mir schon mal folgende Gedanken gemacht: 

Aus der Aufgabenstellung sind folgende Matrizen zu entnehmen

_Eid_B = \( \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \), _Eid_C = \( \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \), _CM_B(f) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Die gesuchte Matrix Erhält man durch:

_EM_E(f) = _Eid_B*(_CM_B(f)*Eid_C)^-1= \( \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)*(\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \))^-1 = \( \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 7 & -11 \end{pmatrix} \)^-1= \( \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} -4,5 & 2,5 \\ -3,5 & 1,5 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -34 & 15 \\ -12,5 & 5,5 \end{pmatrix} \)     

Könnte das so stimmen?

Answer 1

Aloha :)

Deine Transformationsmatrizen sind korrekt. Allerdings musst du bei der Multiplikation der Matrizen darauf achten, dass die Basis, die aus dem rechten Faktor rauskommt, in den linken Faktor reinpasst. Das ist bei dir nicht der Fall, denn bei \({_C}M(f)_B\cdot{_E}id_C\) kommen aus dem rechten Faktor Koordinaten bezüglch der Basis \(E\) raus, der linke Faktor erwartet aber Koordinaten bezüglich der Basis \(B\). Ich schlage daher folgende Rechnung vor:

$${_E}M_E={_E}id_C\cdot{_C}M(f)_B\cdot{_B}id_E={_E}id_C\cdot{_C}M_B(f)\cdot\left({_E}id_B\right)^{-1}$$

Comments

Ok, danke. Wenn ich oben aber das Inverse der beiden Matrizen nehme, müsste dann nicht aus (_CM_B(f)*_Eid_C)^-1 gleich _BM_C*_Cid_E folgen?

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Oder muss man den kürzesten Weg gehen?

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Aloha :)

Vorsicht, es gilt \((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\). Daher ist:$$\left({_C}M(f)_B\cdot{_E}id_C\right)^{-1}=\left({_E}id_C\right)^{-1}\cdot\left({_C}M(f)_B\right)^{-1}={_C}id_E\cdot{_B}M(f)_C$$