Antwort mit KI erzeugt
Sei G eine Gruppe. Beweisen Sie:
(a) Ist \( G/Z(G) \) zyklisch, so ist \( G \) abelsch.
Beweis:
Angenommen, dass \( G/Z(G) \) zyklisch ist. Das bedeutet, dass es ein Element \( gZ(G) \in G/Z(G) \) gibt, das die ganze Gruppe \( G/Z(G) \) erzeugt.
Das heißt, jedes Element in \( G/Z(G) \) kann als Potenz von \( gZ(G) \) geschrieben werden. Anders ausgedrückt, für jedes \( x \in G \) existiert ein \( k \in \mathbb{Z} \), sodass \( xZ(G) = (gZ(G))^k = g^kZ(G) \). Das bedeutet, dass \( x \) in der Form \( x = g^kz \) geschrieben werden kann, wobei \( z \in Z(G) \) im Zentrum von \( G \) liegt.
Das Zentrum \( Z(G) \) einer Gruppe \( G \) besteht aus den Elementen, die mit allen anderen Elementen von \( G \) kommutieren. Also hat jedes \( z \in Z(G) \) die Eigenschaft, dass \( zx = xz \) für alle \( x \in G \).
Wir zeigen nun, dass \( G \) abelsch ist. Sei \( x, y \in G \). Dann können wir diese wie oben beschrieben schreiben:
\(
x = g^kz_1 \quad \text{und} \quad y = g^mz_2,
\)
wobei \( z_1, z_2 \in Z(G) \).
Wir berechnen nun das Produkt \( xy \):
\(
xy = (g^kz_1)(g^mz_2).
\)
Da \( z_1 \) und \( z_2 \) im Zentrum sind, kommutieren sie mit allen Elementen, insbesondere mit \( g^m \) und \( g^k \), also:
\(
xy = g^kz_1g^mz_2 = g^kg^mz_1z_2 = g^{k+m}z_1z_2.
\)
Da \( G \) zyklisch ist und \( z_1z_2 \in Z(G) \), haben die Elemente \( z_1 \) und \( z_2 \) die Eigenschaft, dass sie mit allen Elementen kommutieren. Berechnen wir nun \( yx \):
\(
yx = (g^mz_2)(g^kz_1),
\)
dann ergibt sich:
\(
yx = g^mz_2g^kz_1 = g^mg^kz_2z_1 = g^{m+k}z_2z_1.
\)
Da \( z_1 \) und \( z_2 \) im Zentrum kommutieren, ist \( z_1z_2 = z_2z_1 \) und somit:
\(
yx = g^{m+k}z_2z_1 = g^{k+m}z_1z_2 = xy.
\)
Daher gilt \( xy = yx \) für alle \( x, y \in G \). Also ist \( G \) abelsch.
(b) [G : Z(G)] ist keine Primzahl.
Beweis:
Wir müssen zeigen, dass der Index \( [G : Z(G)] \), also die Anzahl der Nebenklassen des Zentrums \( Z(G) \) in \( G \), keine Primzahl ist.
Betrachten wir \( [G : Z(G)] = n \). Angenommen, \( n \) wäre eine Primzahl \( p \). Dies würde implizieren, dass \( G/Z(G) \) eine Gruppe der Ordnung \( p \) hat. Nach den Ergebnissen der Gruppentheorie ist jede Gruppe der Ordnung \( p \) zyklisch.
Angenommen, \( G/Z(G) \) ist zyklisch, dann gilt nach Teil (a), dass \( G \) abelsch ist. Wenn \( G \) abelsch ist, dann ist das Zentrum \( Z(G) = G \). Dies bedeutet, dass der Index \( [G : Z(G)] = 1 \).
Ein Widerspruch entsteht, da wir ursprünglich angenommen haben, dass der Index \( [G : Z(G)] \) eine Primzahl \( p \) ist, wobei \( p \neq 1 \).
Deshalb kann der Index \( [G : Z(G)] \) keine Primzahl sein.
Folglich haben wir gezeigt, dass \( [G : Z(G)] \) keine Primzahl sein kann.
