Zeigen Sie, ob die endlichen Gruppen mit 1 bis 4 Elementen jeweils zyklisch und/ oder abelsch sind.

Question

Algebra von höheren Standpunkt aus

Zeigen Sie, ob die  endlichen Gruppen mit 1 bis 4 Elementen jeweils zyklisch und/ oder abelsch sind.

Answer 1

1 Element:    G besteht nur aus dem neutralen El.  n  Das erzeugt sie auch, also

zyklisch und abelsch.

2 Elemente:    G = { n ; x }    und x ist zu sich selbst invers., also x*x = n

Damit erzeugt x die Gruppe und es gibt ja nur die Verknüpfungen

n*x = x             x*n  = x              x*x  = n

also auch abelsch.

2 Elemente:   G =  { n ; x ; y  }   

Fall 1:    y ist zu x invers (und umgekehrt) also x*y = y*x = n

Dann muss x*x = y   und  y*y = x sein. 

Außerdem ist Verknüpfung mit n

immer kommutativ.     Damit ist G abelsch.

Außerdem ist sie zyklisch:    x¹=x    x²=y   x³=x*y=n

Also jedes Element Potenz von x.

Fall2 :   Jedes El. ist zu sich invers, also x*x=n  und y*y=n 

 aber was ist dann   x*y ?    n geht nicht wegen der Eindeutigkeit des

Inversen.   x oder y auch nicht, wegen der Eind. des neutralen El.

Also tritt Fall 2 nicht auf.

4 Elemente: siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

 

Comments

Bei den 2 Elementen, wieso gibt es nur die Multiplikation als Verknüpfung?

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Welche Verknüpfung das ist, ist total egal.

wenn es nur zwei Elemente gibt, ist eines das

neutrale und eines ist zu sich selbst invers.

Daa brauchen auch keine Zahlen zu sein, etwa

die Spiegelung der Ebene an der x-Achse und die

identische Abbildung bilden so eine Gruppe bzgl.

der Hintereinanderausführung von Abb'en.