Berechnen Sie die Jordan-Normalform des Endomorphismus

Question

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Sei \( V=\mathbb{Q}^{3} \) ein \( \mathbb{Q} \) -Vektorraum. Berechnen Sie die Jordan-Normalform des Endomorphismus \( \phi \in \overline{\operatorname{End}}(V) \) mit
$$ D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & 4 \end{array}\right) $$
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( h_{\phi} \) und seine Faktorisierung. (Hinweis: \( h_{\phi}=p^{3} \) für ein geeignetes \( \left.p \in \mathbb{Q}[X] .\right) \)
(b) Bestimmen Sie \( k \) minimal mit \( \operatorname{Kern}\left(p(\phi)^{k}\right)=V \). Berechnen Sie ein System von Basisvektoren \( C=C_{1} \cup \ldots \cup C_{k} \), wobei gilt
$$ \begin{array}{ccccc} & & C_{1} & \text { Basis von } & \operatorname{Kern}(p(\phi)) \\ & & \vdots & & \vdots \\ C_{1} & \cup & \ldots & \cup & C_{k} & \text { Basis von } & \operatorname{Kern}\left(p^{k}(\phi)\right) \end{array} $$
(c) Führen Sie den Basisaustausch gemäß der Anleitung auf dem Extrablatt zur Jordan-Normalform durch (in Panda unter Skript). Bestimmen Sie auf diese Weise eine Basis \( T \) von \( V \) bzgl. der die Darstellungsmatrix \( D_{T}(\phi) \) JordanNormalform hat.
(d) Geben Sie die Jordan-Normalform \( D_{T}(\phi) \) von \( \phi \) an.

Answer 1

Ich richte mich mal nach der Überschrift.

Finde den Eigenwert

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\3&-2&1\\6&-4&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

==>

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{r}0\\3 \; x1 - 2 \; x2 + x3\\6 \; x1 - 4 \; x2 + 2 \; x3\\\end{array}\right) = 0, \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{2}{3} \; x2 - \frac{1}{3} \; x3\\x2\\x3\\\end{array}\right) \right\} \)

Es gibt nur 2 Eigenvektoren

\(\small EV=\left(\begin{array}{rr}\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\1&0\\0&1\\\end{array}\right)\)

==> Hauptvektorsuche λ=2

Suche HV ∈ Ker (A-λE)^N mit dim Ker (A-λE)^N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)^(N-1)

==> N=2

\(\small HV1Kandidaten \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

und

HV:=(A - 2 * E) HV1Kandidaten

\(\small HV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\3&-2&1\\6&-4&2\\\end{array}\right)\)

bediene mich aus EV(1) und HV(3) , HV1Kandidaten(3)

==>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&0&0\\1&1&0\\0&2&1\\\end{array}\right)\)

==>

\(\small D:=T^{-1} A\; T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\\\end{array}\right)\)