Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Formel: m = qn + r - Wie zeigt man den kommutativen Ring?

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 1 . \) Für alle \( m \in \mathbb{N}, \) gibt es eindeutig bestimmte Elemente \( q, r \in \mathbb{N} \) so dass $$ m=q n+r $$ mit \( 0 \leq r \leq n-1 . \) Wir schreiben \( r_{n}(m)=r \)

Sei \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \) und sei \( \mathbb{Z}_{n}=\{0,1,2, \cdots, n-1\} . \) Für \( x, y \in \mathbb{Z}_{n} \) sei \( x+y=r_{n}(x+y) \) und \( x \cdot y=r_{n}(x y) \)

Zeigen Sie, dass \( \left(\mathbb{Z}_{n},+, \cdot\right) \) ein kommutativer Ring ist.

Answer 1

Man muss nachweisen das  bestimmte Axiome gelten:

Abgeschlossenheit,  für Summe und Produkt

Assioziativ ,Gesetz               für Summe und Produkt

Kommurtativ Gesetz

Neutrales Element

Inverses Element

Distributiv Gesetz

Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition und der gewöhnlichen Multiplikation einen Kommutativen Ring.

Comments

und wie weise ich diese nach?

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x+y=r_n(x+y)  ist ja schon die Summe

x*y=r_n(x*y) ist  das Produkt

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ich komme trotz  hilfe gar nicht weiter, hast du eventuell auch Lösungen..brauche die Punkte für die Qualifikation..

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Ich würde auch gerne wissen wie ein Element aus Zn aussieht. Ist dann z.B. a=r(x+y), oder was soll ich als a und b betrachten.