Sei R ein kom. Ring mit Eins, P ∈ R[x] und r ∈ R eine Nullstelle von P. Zeige, das r ein Teiler von P(0R) in R ist.

Question

Seien R ein kommutativer Ring mit Eins, P ∈ R[x] und r ∈ R eine Nullstelle von P.

Zeigen Sie, dass dann r ein Teiler von P(0_R) ist in R.

Answer 1

P ∈ R[x] ==>  Es gibt n∈ℕ  und \(  a_0,a_1,\dots,a_n \in R \) mit

\(  P(x) =  \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot x^k \).

r ist Nullstelle ==>   P(r)=0  ==> \(    \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot r^k =0\)

Für n=0 wäre r=0 also Teiler von \(   P(0_R) \) , ansonsten

                          \(    a_0 +  r\cdot   \sum\limits_{k=0}^{n-1}  a_{k+1}\cdot r^k =0\)

Also r Teiler von     \(    a_0 \)     aber

\(  P(0_R) =  \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot (0_R)^k =  0_R + a_0  =  a_0 \)

Also r Teiler von \(  P(0_R) \).