a) Es gibt ein x ∈ J, das multiplikativ invertierbar ist
==> Es gibt ein y ∈ R mit x*y = 1
Da J ein Ideal ist und x ∈ J , ist für alle z ∈ R auch x*z ∈ J.
==> also auch x*y = 1 ∈ J.
wegen 1 ∈ J gilt für jedes r ∈ R : r*1 ∈ J , also r ∈ J,
also R=J.
b) Sei also a ∈ R. Hier muss man zeigen, wenn die gegebene Menge J genannt wird:
1 ) 0 ∈ J
2) für alle x,y ∈ J gilt auch x-y ∈ J
3) für alle x ∈ J und r ∈ R gilt x*r ∈ J.
und 4) a ∈ J ( .......... welches a enthält )
zu 1) nach Def. von J gilt mit y=0 a*0 ∈ J , also 0 ∈ J.
zu 2) Seien x,y ∈ J , dann gibt es y1 und y2 mit
x=a*y1 und y=a*y2 also
x-y = a*y1 - a*y2 = a*(y1 - y2 )
Und weil R ein Ring ist, ist mit y1 und y2 auch y1 - y2 ∈ R
a*(y1 - y2 ) ∈ J
3) seien x ∈ J und r ∈ R . Dann gibt es ein y ∈ R mit
x = a*y also ist x*r = (a*y)*r = a*(y*r) und wegen y*r ∈ R
ist also a*(y*r) ∈ J .
4) a ∈ J , weil R ein Einselement hat, also a*1 ∈ J .
