Aufgabe:
Problem/Ansatz:
H
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Aufgabe \( 6.9 \) Betrachte die Menge
$$ R=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \subset \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{R}) $$
(a) Zeige, dass \( R \) ein kommutativer Ring mit Eins ist, wobei Addition und Multiplikation wie in Aufgabe \( 5.4 \) definiert sind.
(b) Zeige, dass es eine Matrix \( A \in R \) gibt, so dass
$$ A^{2}=-1=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $$
gilt.
(c) Zeige, dass die Abbildung
$$ \begin{aligned} \varphi: \mathbb{C} & \rightarrow R \\ x+i y & \mapsto\left(\begin{array}{cc} x & y \\ -y & x \end{array}\right) \end{aligned} $$
bijektiv ist, die Nullen und Einsen erhält und und für alle \( z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) gilt
$$ \varphi\left(z_{1}+z_{2}\right)=\varphi\left(z_{1}\right)+\varphi\left(z_{2}\right) $$
$$ \varphi\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)=\varphi\left(z_{1}\right) \cdot \varphi\left(z_{2}\right) $$
Man mache sich klar, das aus Teil (c) direkt folgt, dass die Multiplikation in \( \mathbb{C} \) assoziativ ist (was in der Vorlesung noch nicht nachgerechnet wurde).
Hallo, Kann jemand bitte die Lösüngen zeigen ?
Beste Grüße
