es geht um folgendes:
$$ \text{Es sei die komponentenweise Addition und kompotnentenweise}\\ \text{Mulitplikation auf }\mathbb{R^2}:=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \text{ wie folgt definiert}\\ (a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)\\(a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2)=(a_1\cdot b_1,a_2\cdot b_2)\\\text{Dann ist }(\mathbb{R^2},+,\cdot)\text{ ein kommutativer Ring mit Einselement,}\\ \text{aber kein Körper.}$$
Dass es sich hierbei um einen kommutativen Ring mit Einselement handelt, habe ich bereits beweisen können. Ich habe dafür $$ 1_\mathbb{R^2}:=(1,1) $$ als Einselement - neutrales Element der Multiplikation - gewählt.
Jedoch schaff ich es nicht, zu zeigen, dass diese Gesamtkonstruktion kein Körper ist. Denn ein Körper wird ja noch dadurch ausgezeichnet, dass $$ 1_R\neq 0_R $$ und $$ R^*=R\setminus \{0_R\} $$ gelten.
Nun hatte ich mir überlegt, dass Inverse zu (a_1,a_2) als $$ (a_1^{-1},a_2^{-1}) $$zu definieren. Aber so finde ich nur (0,0) als einzig mögliches Element, es als Kandidat für eine Einheit auszuschließen. Daher verstehe ich nicht, warum das jetzt kein Körper sein soll...
