Kommutativer Ring Einselement

Question

Hi, hat hier jemand einen Lösungsweg für mich? Vielen Dank schonmal

Man zeige, dass (P (X ), △, ∩) ein kommutativer Ring mit Eins ist:



A, B ∈ P (X) -> △(A, B) := A△B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)

Answer 1

Für die additive Gruppe findest du es hier:

https://www.mathelounge.de/886056/abelsche-gruppe-potenzmenge

Die fehlenden Ringeigenschaften musst du noch ergänzen.

Z.B. Distributivgesetz: Für alle A,B,C ∈ P(X) gilt

     A ∩ ( B △ C) = A  ∩ B  △  A  ∩ C .

Das geht etwa so : (Def. von △, ∩ verwenden )

linke Seite:

  A ∩ ( B △ C) =  (A ∪ ( B △ C) ) \ (A ∩ ( B △ C) )

                   =  (A ∪ ( (B ∪ C) \ (B ∩ C)) ) \ (A ∩ ( (B ∪ C) \ (B ∩ C))  )

rechte Seite :

A ∩ B △  A ∩ C =  ( (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) ) \ ((A ∩ B)∩ ( A ∩C) )

und dann mit den gängigen Gesetzen

https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten

umformen und zeigen, dass beides übereinstimmt.