Jeder Körper ist ein kommutativer Ring, aber nicht jeder kommutativer Ring ist auch ein Körper.
Es kommt jetzt natürlich auf euren Begriff des Rings an. Meint ihr damit automatisch immer einen Ring mit Eins? Falls nicht:
- Der allgemeine Begriff des Rings setzt die Existenz eines Einselements (neutrales Element bezüglich der Multiplikation) nicht voraus. Ein Körper hingegen hat immer ein Einselement.
Wenn eine Verknüpfung ein neutrales Element besitzt ergibt es Sinn von inversen Elementen zu sprechen:
- In Ringen müssen Elemente ungleich dem Nullelement kein multiplikativ inverses Element besitzen. In Körpern hingegen schon.
Das resultiert dann natürlich in vielen zusätzlichen Eigenschaften eines Körper:
- Sie sind immer nullteilerfrei. D.h. \( xy = 0_K \implies x = 0_K \text{ oder } y = 0_K \)
- Es gelten Kürzungsregel für \(x \neq 0_K \) gilt \( xy = xz \implies y=z \)
- Es gibt nur 2 Ideale, insbesondere sind Körperhomomorphismen immer injektiv.
etc.
Beispiele für kommutative Ringe sind z.B. die ganzen Zahlen oder auch die Restklassenringe Z/nZ aber auch bspw. die Menge aller Polynome über einem kommutativen Ring
Beispiele für Körper: die rationalen bzw. reellen bzw. komplexen Zahlen, oder die Restklassenringe Z/pZ für Primzahlen p.
