Ring R nicht notwendig kommutativ: Zeige ab+ba=0 und abc + abc=0.

Question

Es sei R ein (nich notwendigerweise kommutativer) Ring so,

dass x^2=0 für alle x aus R.

a)Zeige: Für alle a,b aus R ist ab+ba=0.

b)Zeige: Für alle a,b,c aus R ist abc+abc=0.

Zu a) da Ring nich notwendigerweise kommutativ trotzdem Distributivgesetz anwendbar?

zu b) (2*abc)^2=0^2 ? ==> wurzel2 * abc^2 = 0 ==> 0 * wurzel2 = 0   ?

Comments

Hilft dir das hier weiter:

https://www.mathelounge.de/171832/ring-ab-ba-0-nich-notwendig-kommutativ

In einem Ring kannst du nicht einfach so die Wurzel ziehen.

EDIT: Gemeint war: https://www.mathelounge.de/171116/potenzieren-wenn-auf-einer-seite-null-steht-erlaubt#c172015

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ne hilft nicht so... des is doch n link zu meiner frage oder?

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Eine neue Dimension des Link-Postens: Auf dieselbe Frage verweisen :)

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Die Frage kam vor ein paar Tagen anders daher.

Hatte sie vorhin via Suche wieder gefunden. Jetzt bin ich zu blöd, die wiederzufinden.

Damals wurde in etwa gefragt, ob aus (ab + ba) = 0 auch (ab + ba)^2 = 0 folgt.

Answer 1

es gilt \( 0 = (a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = ab + ba \).

Damit ist es bewiesen

Die zweite Aussage folgt aus der ersten Rechenregel (\(ab=-ba\)) durch

\( abc + abc = abc - bac = abc + bca = a(bc) + (bc)a = 0 \)

Mister

Comments

Ich verstehe nicht, warum das letzte Gleichheitszeichen folgt? Warum gilt a(bc) + (cb)a = 0 ? Mit dieser Gleichung ist doch die erste Aussage (ab=-ba) gerade nicht erfüllt, da a(bc) + (cb)a = a(bc) - (bc)a. Definiert man bc:= d folgt daraus ad-da , wir wissen aber nur ad+da=0!

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Richtig, das war ein Schreibfehler meinerseits. Ich habe diesen gerade korrigiert (bitte nochmal überprüfen).

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ja, jetzt passt es! :)