R sei Ring. Beh: Zentrum Z(R):={a ∈ R: ab=ba für alle b ∈ R} ist ein kommutativer Ring.

Question

Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass das Zentrum
Z(R):={a ∈ R: ab=ba  für alle b ∈ R}
ein kommutativer Ring ist.

Wir wissen, dass die Ringaxiome gezeigt werden.
Für a,b ∈ R und z ∈ R gilt:
z(a+b)=za+zb=az+bz=(a+b)z
→a+b ∈ Z(R) (Abgeschlossenheit)
aber jetzt kommen wir nicht weiter

Danke für eure Hilfe :-)

Answer 1

Abgeschlossenheit bzgl + bereits gezeigt.

Abgeschlossenheit bzgl. "\(\cdot\)":
\(a_1,a_2\in Z(R)\Rightarrow (a_1a_2)b=a_1(a_2b)=a_1(ba_2)=(a_1b)a_2=(ba_1)a_2=b(a_1a_2)\; \forall b\in R\).

additiv Inverses zu \(a\in Z(R)\): wir müssen \(-a\in Z(R)\) zeigen:
(\(-a)b=-(ab)=-(ba)=b(-a)\; \forall b\in R\).

additiv neutrales Element \(0\in Z(R)\):
\(0\cdot b=0=b\cdot 0)\; \forall b\in R\)

Für den Fall, dass Ringe ein Einselement enthalten müssen:
\(1\cdot b=b=b\cdot 1\; \forall b\in R\)

Alle anderen Ringeigenschaften wie Assoziativität, Distributivität etc. gelten bereits in der Obermenge \(R\),
also erst recht in \(Z(R)\).

Kommutativität: da die Elemente von \(Z(R)\) mit allen Elementen von \(R\) vertauschbar sind,
sind sie insbesondere mit den Elementen von \(Z(R)\subset R\) vertauschbar.