Kommutativer Ring mit Eins. Alle invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen A ∈ R^(n,n) mit A^ (−1) = A^T?

Question

Hey sitze nun schon eine Weile an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe.

Aufgabe:

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Bestimmen Sie alle invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen A ∈ R^n,n mit A⁻¹ = A^T

Answer 1

Sei \( a_i \) der i-te Spaltenvektor der Matrix \( A \), dann gilt für das \( i,j\)-te Element von \( A^t A \) $$ (A^T A)_{i,j} = a_i^T a_j = \delta_{i,j} $$

Füt \( i = 1 \) folgt, weil \( a_1 \) die Form \( a_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} \) hat, \( \alpha_1^2 = 1 \)

Weil \( 0 = a_1^T a_2 = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha_1 \beta_1 \) gilt, folgt \( \beta_1 = 0 \) und wegen $$ 1 = a_2^T a_2 = \begin{pmatrix} 0 & \beta_2 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \beta_2 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} $$ folgt \( \beta_2^2 = 1 \)

Das macht man soweiter bis zur letzten Zeile und bekommt, das \( A \) eine Diagonalmatrix sein muss, mit Diagonaleinträgen vom Betrag \( 1 \).

Comments

Was ist denn der Betrag in einem kommutativen Ring?

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Hatte ich überlesen. Dann sind es Diagonaleinträge dessen Quadrate \( 1 \) ergeben.

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Danke das bringt mich weiter aber komplett versteh ich das ganze immer noch nicht. bis wohin muss ich das ganze denn machen, also bis zu welcher Zeile ?

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Induktiv bis zur letzten.