Binäre Ring? Kommutativität zeigen?

Question

Aufgabe:

Sei \( R \neq(0) \) ein Ring, in dem \( r^{2}=r \) für alle \( r \in R \) gilt. Man zeige:

a) Es gilt \( r+r=0 \) für alle \( r \in R \) (d.h.: \( \operatorname{char}(R)=2 \) );

b) \( R \) ist kommutativ;

c) Ist \( R \) Integritätsring, so ist \( R=\mathbb{F}_{2} \) der Körper mit zwei Elementen.

Answer 1

hier ein paar Starthilfen:

a) Betrachte \( r+r = (r+r)^2 \)

b) Sei \(r,s \in R \). Betrachte \(r+s = (r+s)^2 \) und verwende das Ergebnis aus a)

c) Betrachte \( r(r-1) = 0 \). Warum kann R nur 2 Elemente haben und wie sehen diese aus?

Gruß