Sei (B, ⊕,⊗ ) ein Ring und B' ⊂ B mit B' ≠ ∅. Zeigen Sie, dass B' ein Unterring von B ist.

Question

Hallo,

Kann mir bitte jemand erklären wie man das zeigt? Vielen Dank schon mal.

Sei (B, ⊕,⊗) ein Ring und B' ⊂ B mit B' ≠ ∅. Außerdem gelte, dass aus x, y ∈ B' folgt, dass x ⊕ y ∈ B',  x ⊕ (−y) ∈ B' und x ⊗ y ∈ B'.

Zeigen Sie, dass B' ein Unterring von B ist.

Answer 1

Unterringkriterium: additive Untergruppe und abgeschlossen bei Multiplikation

1.  abgeschlossen bei Multiplikation ist durch x ⊗ y ∈ B' gegeben.

2. a) aus x, y ∈ B' folgt, dass x ⊕ y ∈ B', also abg. bei  ⊕ .

    b) assoziativ in B also auch in B'

    c) 0 ∈ B' ist erfüllt, da B ' mindestens ein El x enthält und wegen

            x ⊕ (−y) ∈ B'  ist also auch  x ⊕ (−x) ∈ B', also 0 ∈ B'.

    d) Zu jedem x aus B '  ist (-x) in B ' . Wende  für x aus B ' die

       Eigenschaft    x ⊕ (−y) ∈ B'   mit y = 0 ( Das ist ja in B' ) an.