dass \( \mathcal{R} \) ein zu \( Abb(X, \mathbb{F}_2) \) isomorpher Ring ist, lässt sich viel leichter zeigen, wenn man die Ringaddition und -multiplikation vorher festlegt.
Sei \( \Delta \) die Ringaddition und \( \cap \) die Ringmultiplikation.
Dann ist \( \chi_{A \Delta B}(x) = \chi_A(x) + \chi_B(x) \) und \( \chi_{A \cap B}(x) = \chi_A(x) \chi_B(x) \).
Die Abbildung \( z \), die \( A \in \mathcal{R} \) die Abbildung \( \chi_A \) zuordnet, ist umkehrbar. Die Teilmenge in \( Abb(X, \mathbb{F}_2) \), die diese Abbildung \( z \) in dem Sinne zu einem Isomorphismus macht, dass die Umkehrabbildung \( z^{-1} \) auf dem gesamtem Bild von \( z \) definiert ist, besteht aus genau jenen \( \chi_A \), für die \( A \in \mathcal{R} \) ist.
Mister
