Quotientenmodul Untermodul Isomorphie zeigen

Question

ich habe Folgendes vorliegen:

Wir haben den Quotientenmodul \( ℤ^{3} \) / <\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} \) >

Nun wird behauptet der Untermodul <[\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ]_~> sei isomorph zu ℤ

und

der Untermodul <[\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ]_~> sei isomorph zu ℤ₃

Mir ist leider unklar, warum diese beiden Untermoduln zu den genannten Ringen isomorph sind

Answer 1

Für das erste betrachte die Abbildung, die jeder Klasse zum Element \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) die Komponente c zuordnet. Das ist wohl definiert, da alle Elemente in einer solchen Klasse das gleiche c haben.

Das ist dann wohl ein Isomorphismus von <[\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ]~> nach ℤ.

Comments

Hallo, das klingt ziemlich verständlich danke.

Doch wie sieht das mit dem Isomorphismus von <[\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ]~>nach ℤ₃ aus?

Wenn ich hier auch so vorgehe, wie du beschrieben hast, dann wäre das auch isomorph zu ℤ