Finde zwei v für eine basis

Question

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Aufgabe Q. B.
Es sie \( e_{1,}, e_{2}, \cdots, e_{n} \) die flandardarisi des \( \mathbb{R}^{n} \).
geben sic im fall \( n=3 \) wui vell \( v_{1}, v_{2} \) an, soclass \( v_{1}, v_{2}, e_{i} \) färall \( i=1,2,3 \) ine Basis beldel.

Beweis
Sei \( V_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) and \( V_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) :
Fall er:
\( \Leftrightarrow \) Kaine Nulleile \( \rightarrow \) lin cenalh.
rall \( e_{2}: \)
\( \rightarrow \) haine Nilhile \( \rightarrow \) lin. unaber.
fall \( e_{3} \) :
\( \leftrightarrow \) him. Nultruil \( \rightarrow \) lin unalh.
\( \underset{G}{\star} \) Fiir alle \( e_{i} \) mit \( i=1,2,3 \) bildl \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( v=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) enine Basis.

Problem/Ansatz:

Kann ich das so zeigen oder reicht das nicht?

Answer 1

Ja, das ist so in Ordnung.

Alternativ über Determinante - geht schneller.

Oder direkt das LGS lösen (schätze, ist genauso schnell wie Deine Gauß-Umformungen).

Comments

Alles klar danke für die Antwort! Jetzt im Nachhinein fällt mir auf, dass das Erzeugendnsystem vielleicht nachgewiesen werden muss oder?

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Genau genommen hast Du recht. Es ist aber schon alles gesagt, denn wenn Du drei lin. unabh. Vektoren hast (hast Du ja nachgewiesen), spannen die auch gleich den ganzen \(\R^3\) auf, denn der hat ja bekanntermaßen die Dimension 3. Hat man also drei, dann bilden die auch eine Basis.