K ein Körper und V und W zwei K-Vektorräume. Beweis der Basis.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und seien V und W zwei K-Vektorräume. Sei weiterhin Φ:V->W ein K-Isomorphismus. Beweisen Sie: Ist B:={b1,...,bn} eine Basis von V, so ist {Φ(b1),...,Φ(bn)} eine Basis von W.

Problem/Ansatz:

 

Answer 1

Du musst ja nur beweisen, dass  {Φ(b1),...,Φ(bn)} linear unabhängig ist; denn

die Anzahl ist n und wenn es einen K-Isomorphismus von V nach W gibt, haben beide

die gleiche Dimension und in einem n-dimensionalen VR ist jedes

System von n linear unabhängigen Vektoren eine Basis.

Beweis zur lin. Unabhängigkeit:

Seien a1 , ...an aus K mit a1*Φ(b1) + … + an*Φ(bn) = 0_W

(Es ist also zu zeigen, dass alle a's gleich 0 sein müssen.)

==>  (wegen Linearität von Φ )    Φ (a1*b1 + … + an*bn ) = 0_W

==>      a1*b1 + … + an*bn ∈  Kern(Φ)

==>   (wegen Injektivität von Φ )      a1*b1 + … + an*bn  = 0_V

==>  ( Da b1,...,bn lin. unabh. )  a1=….=an=0.          q.e.d.