Zeigen Sie, dass V eine Basis des R^3 ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass V eine Basis des R^3 ist.

V={v1,v2,v3}

v1=(1,0,1)^T

v2=(1,1,0)^T

v3=(0,0,1)^T

Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen, dass die Linear unabhängig sind. Wie geht das? In eine Matrix packen und dann Gauß?

Den zweiten Teil kann ich nicht, wo man zeigen muss, dass die ein Erzeugendensystem bilden.

Answer 1

Zeige dass die Gleichung x·v₁ + y·v₂ + z·v₃ = w für jedes w ∈ ℝ³ eine eindeutige Lösung hat.

Answer 2

Dass \(V\) ein Erzeugendensystem ist, kann man so einsehen:

Für die Standardeinheitsvektoren gilt:

\(e_1=v_1-v_3, \; e_2=v_2-v_1+v_3, \; e_3=v_3\), also

\(\mathbb{R}^3=Span(e_1,e_2,e_3)\subseteq Span(v_1,v_2,v_3)\).

Answer 3

Aloha :)

Bestimme mit der Determinante oder mit dem Spatprodukt das von den drei Vektoren aufgespannte Volumen \(V\). Wenn dieses Volumen von Null verschieden ist, spannen die 3 Vektoren ein 3-dimensionales Volumen auf und sind daher linear unabhängig:

$$V=\operatorname{det}(\vec v_1;\vec v_2\;\vec v_3)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right)=1\ne0\quad\checkmark$$

Im zweiten Fall kannst du z.B. zeigen, dass sich die kanonischen Einheitsvektoren durch die Vektoren \(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) ausdrücken lassen:

$$\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\vec v_1-\vec v_3$$$$\vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=-\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3$$$$\vec e_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\vec v_3$$

Daher kannst du jeden beliebigen Vektor des \(\mathbb R^3\) durch \(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) ausdrücken:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=a\cdot\vec e_1+b\cdot\vec e_2+c\cdot\vec e_3$$$$\qquad\;\;=a\cdot(\vec v_1-\vec v_3)+b\cdot(-\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3)+c\cdot\vec v_3$$$$\qquad\;\;=(a-b)\cdot\vec v_1+b\cdot\vec v_2+(-a+b+c)\cdot\vec v_3=\begin{pmatrix}a-b\\b\\-a+b+c\end{pmatrix}_V$$

Die 3 Vektoren \(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) bilden daher ein Erzeugendensystem für den \(\mathbb R^3\).