Allgemeine Lösung der Differentialgleichung 1. Ordnung

Question

(x + 3)y′ − y = x(x + 6).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung

Lösung: y = x² + C(x + 3) für reelles C

Mein Ansatz:

∫ \( \frac{1}{y} \) dy = ∫ \( \frac{1}{x+3} \) logarithmus anwenden

ln|y|= ln|x+3| mit e multiplizieren

y= C(x+3)

Soo weiter komme ich nicht, müsste y nun wieder in die Gleichung einsetzen und laut mathedf.com würde man dann substituieren, aber ich hab das mit der Substitution irgendwie noch nicht ganz raus  :/

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Eine alternative Lösung:
Es ist \(\displaystyle\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{y-x^2}{x+3}=0\), also \(\displaystyle\,\frac{y-x^2}{x+3}=C\) und damit \(\,y=x^2+C(x+3)\).

Answer 1

Hallo,

y= C(x+3) ->das ist die Lösung der homogenen DGL, es geht aber noch weiter.

Lösung via " Variation der Konstanten"

Lösung Integral: (7.letzte Zeile von unten)

\( C^{\prime}(x)=\frac{x(x+6)}{(x+3)^{2}} \)

 \( \int \frac{x \cdot(x+6)}{(x+3)^{2}} \mathrm{~d} x \)

Substituiere : z=x+3

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Vielen Dank! Ich konnte alles nachvollziehen und bin auf dasselbe Ergebnis gekommen (: Also ist die Musterlösung falsch? Weil noch zusätzlich 9 und 3x im Endergebnis dabei steht, aber das macht ja auch Sinn

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hier das Ergebnis von WolframAlpha:

\( y(x)=C_{1}(x+3)+x^{2}+3 x+9 \)