allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung. y´+1/x*y=√(1+x^2)

Question

ich habe mich in diesem Forum neu angemeldet und habe  eine Frage zur Berechnung der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung.                                                                                                                        Die Aufgabe lautet wie folgt: Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y´+1/x*y=√1+x^2

Höchstwahrscheinlich ist es nicht gerne gesehen, aber ich wäre jemandem von Ihnen sehr dankbar wenn Sie mir einen vollständigen Rechenweg aufschreiben könnten, damit ich diesen verinnerlichen und auf meine anderen Übungsaufgaben anwenden könnte.

Ich bedanke mich bei Ihnen im Voraus und hoffe auf hilfreiche Antworten! :-)

Comments

EDIT: Habe in der Überschrift mal eine Klammer ergänzt, da ja wohl nicht nur die 1 unter der Wurzel steht.

 y´+1/x*y=√(1+x^2)

Das *y steht wirklich neben dem Bruchstrich. Oder?

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oh ja dankeschön, das habe ich übersehen.

Genau das *y steht neben dem Bruchstrich und nicht neben dem x.

Answer 1

Hi,

 y´+1/x*y=√(1+x²)        |*x

xy' + y = x√(1+x²)       

Mit y = x'*y (denn x' = 1, wenn man das nach x ableitet). Damit ergibt sich die Produktregel (bzw. umgekehrte)

(xy)' = x√(1+x²)       |Integrieren

xy = 1/3*(x^2+1)^{3/2} + c

y = 1/(3x)*(x^2+1)^{3/2} + c/x

Grüße

Answer 2

die Aufgabe kannst Du durch Variation der Konstanten lösen.