Berechnen Sie die Lösung der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Lösung der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie die Lösung der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung
(t^2 + 9) y'+ ty − ty^2 = 0
mit Anfangsbedingung y(0) = 1/4.

Kann mir bitte jemand Tipps zu dieser Aufgabe geben oder wie man diese Frage richtig löst?

Answer 1

Hallo,

Diese DGL kannst Du durch "Trennung der Variablen" lösen.

(t^2 + 9) y'+ ty − ty^2 = 0 | -ty +ty^2

(t^2 + 9) y' =-ty +ty^2 = t(-y+y^2) |:(t^2+9)

y'= t(-y+y^2)/(t^2+9)

dy/dt= (-y+y^2)/(t^2+9)

dy/(y^2-y)= (t/(t^2+9) )dt

linkes Integral: PBZ

rechtes integral: Substitution z=t^2+9

ln|y-1| -ln|y|=(1/2) ln(t^2+9)+C

ln| (y-1)/y| =(1/2) ln(t^2+9)+C |e hoch

| (y-1)/y| =C₁√(t^2+9)

| 1 -(1/y) | =C₁√(t^2+9)

..

y=1/(1-C₁ √(t^2+9))

AWB: y(0)=1/4

1/4=1/(1-C₁ √(t^2+9))

C₁= -1

--------->

Lösung:

y=1/(1+ √(t^2+9))