Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung

Question

Aufgabe:

\( \ddot{x}-x^{2}+2 x \dot{x}+x+2=0 \)

(a) Schreiben Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung um und bestimmen Sie die stationären Punkte.
(b) Linearisieren Sie das System in den stationären Punkten. Sind die Punkte stabil, asymptotisch stabil oder instabil?

Problem/Ansatz:

wenn ich subst. x' = z mache. dann bekomme ich ne dgl erster Ordnung?

man erhält: \( \dot{z}+2 x z= x^2 - x - 2\)

ie erhalte ich die stationären punkte?

tipps zu b?

Lösungsweg wäre nett.

Answer 1

Hallo,

zu a)

z₁=x

z₂=x' ->z₁'=z₂

z₂'= x''

------>System erster Ordnung :

z₁'= z₂

z₂'=z₁^2 -2z₁z₂-z₁-2

-------------------------------

Setze z₁' und z₂'=0

------>

0=z₂

0=z₁^2 -z₁-2 ->pq-Formel

z_1.2=1/2± √(1/4 +2)

z₁=2

z₂=-1

-------->

stationären Punkte:

P₁ (2/0)

P₂(-1/0)

Comments

sehr detailliert. dankeschön.

und zu b)

ich kannte linearisieren bisher nur aus Mechanik unuzwar wenn man in der bewegungsgleichung z.B.sinφ hat.

dann betrachtete man nur kleine winkeländerungen und daraus wurde nur φ.

wie geht das hier?

---

Es wird eine Taylor-Reihen-Entwicklung bis zur ersten Ordnung durchgeführt.

---

$$3x - 4\dot x -6$$

für den ersten Punkt P_2 (2,0) kommt das raus nach dem linearisieren.

von hier https://www.mathelounge.de/779579/linearisierung-differentialgleichung-gegebenen-punkten?show=781132#c781132

wie geht es jetzt weiter?

eigenwerte bestimmen?

dann gucken ob positiv oder negativ?