Aloha :)
Wir führen einen Widerspruch-Beweis. Angenommen es sei$$\lim\limits_{n\to\infty} b_n\eqqcolon b<a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty} a_n$$dann gibt es, wegen der Konvergenz von \((a_n)\) und \((b_n)\), für \(\varepsilon\coloneqq\frac{a-b}{2}>0\) zwei natürliche Zahlen \(N_1,N_2\in\mathbb N\) mit$$|a_n-a|<\varepsilon\quad\text{für alle }n\ge N_1\quad\text{und}\quad|b_n-b|<\varepsilon\quad\text{für alle }n\ge N_2$$Für \(n\ge\operatorname{max}(N_1,N_2)\) gilt dann nach "Auflösung" der Betragszeichen:$$-\varepsilon<a_n-a<\varepsilon\quad\text{und}\quad-\varepsilon<b_n-b<\varepsilon$$was sich umschreiben lässt zu:$$a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon\quad\text{und}\quad b-\varepsilon < b_n< b+\varepsilon$$Nach Definition von \(\varepsilon\) ist aber:$$a-\varepsilon=a-\frac{a-b}{2}=\frac{2a-a+b}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{2b+a-b}{2}=b+\frac{a-b}{2}=b+\varepsilon$$Mit den Ungleichungen aus der Zeile drüber heißt das:$$b_n<b+\varepsilon=a-\varepsilon<a_n\quad\implies\quad b_n<a_n$$Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass \(a_n\le b_n\) gelten muss. Unsere Annahme von oben war daher falsch und richtig ist:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\le b=\lim\limits_{n\to\infty}b_n\quad\checkmark$$
