Gewöhnliche Differentialgleichung 1.Ordnung mittels Substitution

Question

Aufgabe:

Gewöhnliche Differentialgleichung 1.Ordnung mittels Substitution

x*y' = y*(ln(y)-ln(x))
Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, leider fehlt mir bei der Substitution für DGL 1. Ordnung komplett der Ansatz.

Wenn ich die Trennung der Variablen machen möchte, muss ich ja vorerst alles in die explizite Form bringen bzw. nach ersetzten von dy/dx dann y auf die linke und x auf die rechte Seite. Meine Problematik ist, das ich bei der Substitution komplett aufgeschmissen bin und sogar mit den neuesten KI's nicht voran komme, da diese falsche Endergebnisse ausspucken.

Evtl. könnte mir jemand weiterhelfen?

y' = (y*(ln(y)-ln(x)))/x

Comments

Ist Dir klar, dass ln(y)-ln(x)=ln(y/x) (sofern das mit dem Definitionsbereich hinkommt) Also hängt die rechte Seite "nur" von y/x ab.

Answer 1

Hallo,

Weg: Gewöhnliche Differentialgleichung 1.Ordnung mittels Substitution

Mache zuerst die folgende Umformung :ln(y)-ln(x)) = ln(y/x) 

Ansatz:

z=y/x

y=zx (Produktregel)

y'=z+z'x

dann y und y' in die DGL einsetzen

z+z'x =z ln(z)

z'x =z ln(z) -z

z'x =z (ln(z) -1)