Gewöhnliche Differentialgleichung Trennung der Variablen

Question

,

ich stecke bei folgender Aufgabe leider bereits bei der ersten Umformung fest:

Aufgabe:

$$y'(1+x^2)=\sqrt{e^{-y}}$$

Nach Trennung der Variablen soll folgendes herauskommen:

$$\int_{}^{}e^{\frac{y}{2}}dy=\int_{}^{}\frac{1}{x^2+1}dx$$

Kann mir jemand auf die sprünge helfen?

Vorallem die Umformung der e-Funktion ist mir unklar.

Das Umstellen der restliche Gleichung klappt soweit.

Answer 1

Hallo,

................................

Comments

Das wars, danke!!

Das

$$\frac{1}{\frac{1}{e^{-y/2}}}dy$$

habe ich übersehen!

Answer 2

Hallo,

das rechte Integral ist gerade der Arkustangens, das linke Integral löst man per linearer Substitution. Es gilt:$$\frac{dy}{dx}(1+x^2)=\sqrt{e^{-y}} \implies \frac{1}{\sqrt{e^{-y}}}dy=\frac{1}{1+x^2}dx$$ Hierbei ist \(\sqrt{e^{-y}}=\left(e^{-y}\right)^{1/2}=e^{-y/2}\), also \(\frac{1}{e^{-y/2}}=e^{y/2}\). Also:$$\implies \int_{}^{}e^{y/2}dy=\int_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx$$ usw.

Comments

Danke für die Erklärung!

Stand wohl auf dem Schlauch. Das hoch 1/2 habe ich vergessen.

Eine Sache ist mir noch unklar.

Wieso ist

$$\sqrt{e^{-y}}=\left(e^{-y}\right)^{1/2}=e^{-y/2}$$

genau das:

$$\frac{1}{e^{-y/2}}=e^{y/2}$$

also

$$e^{-y/2}=\frac{1}{e^{-y/2}}$$

und nicht

$$e^{-y/2}=\frac{1}{e^{y/2}}$$

Stände da ein x und kein e wäre das obere doch richtig?

Oder bin ich jetzt komplett verwirrt...

Answer 3

Hallo

√a ist eine andere Schreibweise für a^1/2. also √e^y=(e^y)^1/2=e^y/2

Gruß lul